正方形 の 対角線 の 長 さ
多角形で、隣り合わない2つの頂点を結んだ線を「対角線」といいます。多角形の中でも、正方形の対角線の長さは小学校の算数の範囲内で求めることができそうに思えますが……。実際のところはどうなのでしょうか? 今回は、正方形の対角線について考えてみたいと思います。 正方形の対角線の長さを求める方法はあるの? まずは、次の問題を考えてみましょう。 下の図のように、正方形ABCDと正方形EFGHがあります。一辺の長さが6cmの正方形ABCDの中に円がぴったり収まっていて、その円の周上に4点E、F、G、Hがあります。このとき、正方形EFGHの対角線EGの長さを求めましょう。 「長さを求めましょう」という問題が出るということは、小学生でも対角線EGの長さを求められるはずです。 円にくっついている正方形を45°回転させると…… 正方形EFGHを45°回転させると、次の図のようになります。 これを見れば、対角線EGの長さがABの長さに等しいことがわかります。したがって、EGの長さは 6cm です。 この問題は発想の転換を必要とするパズル的な問題です。そのため、この問題を解くための考え方を他の正方形の対角線の長さを求めるのに応用することはできません。 では、一辺の長さが6cmの正方形ABCDの対角線ACの長さを求めることはできるでしょうか?
正方形の対角線の長さを求める方法 - 具体例で学ぶ数学
図形問題では、正方形の対角線の長さを使って計算することがあります。その例として次の問題を解いてみましょう。 下の図のように、一辺の長さが6cmの正方形ABCDが、平らな床の上を矢印の方向にすべらないように、※の位置まで転がります。頂点Dが動いた後の線と床とで囲まれた図形の面積を求めましょう。 頂点Dが動いた後の線は、下の図の赤線になります。 この赤線と床で囲まれた図形は、辺BC(6cm)を半径とする四分円を2つ、正方形ABCDの対角線を半径とする四分円を1つ、直角二等辺三角形を2つ足した図形です。正方形ABCDの対角線の長さを□cmとすると、求める面積は次の式で表せます。 6×6×3. 14÷4×2+□×□×3. 14÷4+6×6÷2×2 正方形ABCDの面積は6×6=36(cm 2 )なので、対角線の長さ□cmを使って□×□÷2=36と式をたてることができ、□×□=72となります。□×□を72に置きかえると、上の式を計算できます。 6×6×3. 14÷4×2+72×3. 14÷4+6×6÷2×2=149. 正方形の対角線の長さから 自動計算. 04(cm 2 ) この問題のように、 正方形の対角線の長さを使って計算する問題の多くでは「対角線×対角線」の結果を使います 。無理に対角線の長さを求める必要はありません。 正方形の対角線の長さを求めたい小学生は中学数学をのぞいてみよう 中学受験算数では、根号を使って正方形の対角線の長さを求める問題は出題されません。しかし、「どうしても正方形の対角線の長さを求めたい!」という小学生は、少しだけ中学数学をのぞいてみるといいでしょう。美しい数学の世界に心がときめくはずです。 ※記事の内容は執筆時点のものです
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 四角形の対角線、これ一体どうやって長さを求めるんだ…と思ったことはありませんか? 正方形の対角線の長さを求める方法 - 具体例で学ぶ数学. そして、対角線の本数、四角形や五角形は実際に引いてみて数えられるけれど、それ以上になると引いて数えるのは大変です。何か公式のようなものがないのだろうか?と考え出すことになるでしょう。 そんな対角線に関する知識を、この記事では一気に学ぶことができます! 更に対角線を用いた面積の求め方という、一風変わった公式も紹介していますよ。 対角線とは まず対角線とはどのようなものを言うのでしょう? 対角線の定義は、「多角形の隣合わない2つの角の頂点を結ぶ線分」です。 下図の多角形ABCDEでいうと、線分AC, BDが「対角線」に当たります。逆に線分BCは対角線とはいいません。 対角線の長さの求め方 正方形の対角線 正方形の対角線の長さの求め方には、公式があります。 対角線の長さ=√2×(1辺の長さ) となります。 よって下図のような正方形においては、対角線BDの長さXは、√2aです。 なぜこのような公式が導かれるかといえば、対角線と正方形の2辺で作られる直角三角形で三平方の定理を使っているだけです。 下図の正方形なら、△ABDにおいて三平方の定理を用いることで、このような公式が出てきます。 三平方の定理について詳しく知ろう! 長方形の対角線 長方形の対角線の長さについても、正方形の場合と同じく三平方の定理から導き出せる公式があります。 下図の長方形ABCDにおいて、aの二乗とbの二乗の和の平方が対角線の長さとなります。 平行四辺形の対角線 平行四辺形の対角線の求め方は、少し難しいです。下図を例に具体的に見ていきましょう。 まず、補助線として角Aから辺CDに垂線を下ろします。そこでできる直角三角形ADHを利用します。 辺ADの長さがわかっており、角Dの大きさは60°なので、直角三角形の3辺の比1:2:√3が使えます。 直角三角形の3辺の比を用いて、AH=4√3、DH=4と分かります。また、CD=12よりCH=8もすぐにわかります。 これで、やっと対角線の長さを求める準備が整いました。 直角三角形AHCにおいて、三平方の定理を使うだけです。 AC=√(AH^2+CH^2) =√(48+64) =4√7 となり、対角線の長さACが求められました。 多角形の対角線の本数の求め方 多角形の対角線の本数は、いちいち引いて数えなくても公式を使って一瞬で求められます。 対角線の本数=(頂点の数)×(頂点の数−3)÷2 という公式が存在するのです。 さてこの公式、なんで成り立つのか興味はありませんか?